App Markov Chains

Eingangsübergangsmatrix der Markov-Kette und Bestimmung der Zustandsvektoren

Der Zweck der Anwendung besteht darin, bequeme Mittel zum Erstellen der Übergangsmatrix der Markow-Kette und zum Lösen der Zustandsvektoren x(1), x(2),...,x(n),... bereitzustellen.

Eine Markow-Kette ist ein stochastischer Prozess, der eine Abfolge möglicher Ereignisse beschreibt, wobei die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses ausschließlich vom Zustand des vorherigen Ereignisses abhängt. Diese Eigenschaft wird als Markow-Eigenschaft oder Gedächtnislosigkeit bezeichnet. Markow-Ketten vereinfachen die Untersuchung vieler realer Prozesse, indem sie sich auf den aktuellen Zustand und die Übergangswahrscheinlichkeiten konzentrieren. Dies macht sie zu einem leistungsstarken Werkzeug in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen.

Angenommen, ein physikalisches oder mathematisches System durchläuft einen Veränderungsprozess, sodass es jederzeit einen von einer endlichen Anzahl von Zuständen einnehmen kann.

Angenommen, ein solches System wechselt mit der Zeit von einem Zustand in einen anderen, und zu festgelegten Zeitpunkten wird der Zustand des Systems beobachtet. Wenn der Zustand des Systems bei einer Beobachtung nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Zustands jedoch allein durch Kenntnis des Zustands des Systems bei der vorhergehenden Beobachtung vorhergesagt werden kann, spricht man von einer Markow-Kette oder einem Markow-Prozess.

Hat eine Markow-Kette k mögliche Zustände, die wir als 1,2,...,k bezeichnen, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System bei einer beliebigen Beobachtung im Zustand i befindet, nachdem es bei der vorhergehenden Beobachtung im Zustand j war, mit p(i,j) bezeichnet und als Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand j zu Zustand i bezeichnet. Die Matrix P=[p(i,j)] wird als Übergangsmatrix der Markow-Kette bezeichnet.

Der Zustandsvektor für eine Beobachtung einer Markow-Kette mit k Zuständen ist ein Spaltenvektor x, dessen i-te Komponente x(i) die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das System zu diesem Zeitpunkt im i-ten Zustand befindet.

Beachten Sie, dass die Einträge in jedem Zustandsvektor einer Markow-Kette nicht negativ sind und die Summe 1 ergeben. Nehmen wir nun an, wir kennen den Zustandsvektor x(0) einer Markow-Kette zu einem ersten Beobachtungszeitpunkt. Mit der folgenden Anweisung können wir die Zustandsvektoren x(1), x(2),...,x(n),... zu den nachfolgenden Beobachtungszeitpunkten bestimmen. Wenn P die Übergangsmatrix einer Markow-Kette und x(n) der Zustandsvektor bei der n-ten Beobachtung ist, dann gilt x(n+1) = P*x(n).

Im Startvorgang des Anhangs wird die Funktion zum Erstellen einer neuen Transaktionsmatrix (Schaltfläche „Neu“), zum Speichern (Schaltfläche „Speichern“, „Speichern unter“) und zum Löschen (Schaltfläche „Löschen“) gestartet.

Transaktionsmatrizen werden in einer Datenbank mit dem Namen MrkovChains.db vom Typ SQlit gespeichert. Beim Erstellen einer neuen Transaktionsmatrix wird der Dialog zur quadratischen Matrixgröße eingeführt.

Alle Transaktionsmatrixnamen und -namen werden in einer Dropdown-Liste angezeigt. Bei Auswahl der Transaktionsmatrix wird deren Inhalt in einer Tabelle angezeigt und die Schaltfläche „Berechnen“ erscheint, mit der die Vektoren des Zustands x(k) berechnet werden. Drücken Sie die Schaltfläche „Berechnen“ im Dialogfeld und geben Sie k ein, die Nummern der berechneten Vektoren des Zustands x(k). Im Anhang befindet sich auch eine Funktion zum Formatieren in einer Datei (mit dem Namen AppMarkovChains.txt), um die angezeigte Transaktionsmatrix oder die angezeigten Vektoren des Zustands x(k) auf dem Display auszudrucken. Formatierte Dateien können im Dateiverzeichnis des Geräts gespeichert werden, das eine baumartige Struktur aufweist. In der Ordnerauswahl erscheint eine grüne Schaltfläche zum Speichern. Durch Drücken dieser Schaltfläche können Sie im Dialogfeld auswählen, ob die Speicherung durchgeführt werden soll.